1. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah ….
a. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
b. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
c. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0
e. x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0
pembahasan :Dari soal terdapat pernyataan “ menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative “, itu artinya lingkaran berada di kuadran III. Karena pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y.
Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat :
2x – 4(x) – 4 = 0
–2x = 4
x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2.
Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum limgkaran :
( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²
( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2²
x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0.
2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah ….
a. 4x – y – 18 = 0
b. 4x – y + 4 = 0
c. 4x – y + 10 = 0
d. 4x + y – 4 = 0
e. 4x + y – 15 = 0
Pembahasan :
Langkah 1 :
Subtitusikan nilai x = 5 pada persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgungnya.
x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0
5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0
y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0
y² – 6y + 8 = 0
( y – 2 ) ( y – 4 ) = 0
y =2 atau y = 4, sehingga koordninat titik singgungnya adalah ( 5,2 ) dan ( 5,4 ).
Langkah 2 : Persamaan berbagi adil
x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0
x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
Langkah 2 :
Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
( 5,2 ) ( 5,4 )
x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
5x + 2y – ( x + 5 ) – 3( y + 2 ) – 7 = 0 5x + 4y – ( x + 5 ) – 3( y + 4 ) – 7 = 0
5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0 5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 = 0
4x – y – 18 = 0 4x + y – 24 = 0.
3. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah ….
a. x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0
b. x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0
c. x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0
d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
e. x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0
pembahasan :
Karena pusat lingkarannya sudah diketahui maka nilai lain yang tinggal dicari adalah jari – jarinya. Untuk menentukan nilai tersebut kita tinggal mencari jarak dari pusat lingkaran ke garis singgungnya dengan menggunakan jarak titik ke garis yaitu :
Dari soal diketahui persamaan garisnya 3x – 4y – 2 = 0 berarti nilai a = 3, b = –4, dan c = –4, dengan titiknya yaitu ( 1,4 ) berarti nilai x1 = 1 dan y1 = 4.
Masukkan niliai tersebut ke dalam rumus jarak titik ke garis
Maskkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3.
( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²
( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3²
x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0 adalah….
a.
b.
c.
d.
e.
Pembahasan :
Gradien dari persamaan garis ax + by + c = 0 adalah
Gradien dari persamaan garis 2y – x + 3 = 0 adalah , karena persamaan garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis 2y – x + 3 = 0 maka gardien garis tersebut
5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang berabsis –1 adalah ….
a. 3x – 2y – 3 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0
c. 3x + 2y – 9 = 0
d. 3x + 2y + 9 = 0
e. 3x + 2y + 5 = 0
Pembahasan :
Langkah 1 :
Substitusi nilai x = –1 pada persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13,
sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :
(–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :
9 + ( y + 1 )² =13
( y + 1 )² =13 – 9
( y + 1 )² = 4
y + 1 = ± 2
y = –1 ± 2, sehingga didapat :
y1 = –1 – 2 y2 = –1 + 2
y1 = –3 y2 = 1
didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 )
Langkah 2 :
Persamaan garis singgung pada umumnya “ membagi adil “ persamaan.
Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka menjadi persamaannya menjadi
( x – 2 ) ( x – 2 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat titik singgungnya.
( –1,–3 ) ( –1,1 )
(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + 1 ) ( y + 1 ) = 13 (–1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 + 1 ) ( y + 1 ) = 13
–3 ( x – 2 ) + –2 ( y + 1 ) = 13 –3 ( x – 2 ) + 2 ( y + 1 ) = 13
–3x + 6 – 2y – 2 = 13 –3x + 6 + 2y + 2 = 13
–3x – 2y + 4 – 13 = 0 –3x + 2y – 13 + 8 = 0
–3x – 2y – 9 = 0 –3x + 2y – 5 = 0
{kedua ruas dikalikan dengan (–)}, maka akan diperoleh :
3x + 2y + 9 = 0 atau 3x – 2y + 5 = 0 , keduanya merupakan jawaban yang benar tetapi hanya jawaban D yang tersedia pada option .
6. Jarak antara titik pusat lingkaran x² + y² – 4x + 4 = 0 dari sumbu y adalah ….
a. 3
b. 2 ½
c. 2
d. 1 ½
e. 1
Soal Ujian Nasional tahun 2004
7. Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( – 2,1 ). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari – jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah ….
a. x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0
b. x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0
c. x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0
d. x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0
e. x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0
Soal Ujian Nasional tahun 2003
8. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik ( 3,–2 ) adalah ….
a. 3x – 2y = 13
b. 3x – 2y = –13
c. 2x – 3y = 13
d. 2x – 3y = –13
e. 3x + 2y = 13
Soal Ujian Nasional tahun 2002
9. Salah satu persamaan garis singgung dari titik( 0,4 ) pada lingkaran x² + y² = 4 adalah ….
a. y = x + 4
b. y = 2x + 4
c. y = – x + 4
d. y = – x + 4
e. y = – x + 4
Soal Ujian Nasional tahun 2001
10. Garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik ( –3,4 ) menyinggung lingkaran dengan pusat ( 10,5 ) dan jari – jari r. Nilai r = ….
a. 3
b. 5
c. 7
d. 9
e. 11
Walwpun Dikitt.. but I Hope it can be important for you All ... Fren.......
